Κυριακή, 6 Φεβρουαρίου 2011

Ρώσικη ρουλέτα (πρόβλημα λογικής).


Σε ένα τηλεπαιχνίδι, ο παίκτης για να περάσει από τον πρώτο γύρο στον δεύτερο, υπόκειται στην δοκιμασία της << ρώσικης ρουλέτας>>.
Η πιθανότητα επιτυχίας, του κάθε παίχτη σε αυτήν την δοκιμασία, είναι ανάλογη  με την επιτυχία που είχε στον πρώτο γύρο.
Ο εξεταζόμενος παίκτης είχε επιτυχία στον πρώτο γύρο 55%.
Στην δοκιμασία που θα υποστεί   επομένως θα πρέπει να έχει 55%πιθανοτητα παραμονής και 45% πιθανότητα αποχώρησης από το παιχνίδι.
Ο  παρουσιαστής  σε έναν δίσκο έχει 10 σφαιρίδια στην σειρά.
Από αυτά, τα 9 είναι σφαιρίδια  παραμονής, και το  1 είναι σφαιρίδιο αποχώρησης του παίκτη από το παιχνίδι.
Ο παρουσιαστής γνωρίζει ποιο από τα 10 σφαιρίδια, είναι σφαιρίδιο αποχώρησης.
Ζητείται  από τον παίκτη,  να  υποβάλλει ένα αίτημα  τέτοιο, ώστε μετά την υλοποίηση του  από τον παρουσιαστή,   να έχει την δυνατότητα επιλογής σφαιριδίου  με πιθανότητα 45% αποχώρηση,  55% παραμονή  στο παιχνίδι.
Τι πρέπει να ζητήσει ο παίκτης από τον παρουσιαστή?

Λύση:
Ο παίκτης επιλεγεί  έναν τυχαίο αριθμό από το 1 έως το 10 (πχ το 3) και ζητά από τον παρουσιαστή το εξής:
Απέσυρε από τον δίσκο το τρίτο σφαιρίδιο, και μετά άλλα 7 σφαιρίδια παραμονής.
Τώρα έμειναν στο δίσκο 2 σφαιρίδια.  
Το καθένα από αυτά έχει την ζητούμενη πιθανότητα, δηλαδή 55%παραμονη,  45% αποχώρηση.  

Εξήγηση:
Η πιθανότητα το σφαιρίδιο 3 που αποσύραμε  αρχικά να είναι το σφαιρίδιο αποχώρησης είναι 10%.
Επομένως  κατά 90%  (μετά την απόσυρση του 3) το σφαιρίδιο αποχώρησης  βρίσκεται στα υπόλοιπα 9.
Εάν το σφαιρίδιο αποχώρησης   βρισκόταν  στα 9,  μετά την απόσυρση  των 7 σφαιριδίων παραμονής ,  θα βρίσκεται  στα 2 που έμειναν.
Δηλαδή κατά 90%  υπάρχει το σφαιρίδιο αποχώρησης  μέσα στα δυο που απέμειναν.
Το καθένα εκ  των δυο επομένως  έχει πιθανότητα 45% να είναι σφαιρίδιο αποχώρησης, επομένως 55% σφαιρίδιο παραμονής.

Η πιθανότητα επιλογής  σφαιριδίου παραμονής  διαμορφώνεται (αρχικά,  μετά την απομάκρυνση της 3,  μετά την απομάκρυνση των 7σφαιριδιων παραμονής)ως εξής:
900/1000   >    810/900 >   110/200=55%
Ενώ η αντίστοιχη αποχώρησης:
100/1000   >    90/900    >   90/200=45%

Δεν υπάρχουν σχόλια: