Δευτέρα, 22 Νοεμβρίου 2010

Τηλεπαιχνίδι (πρόβλημα λογικής)

Ένας τηλεοπτικός σταθμός παρουσιάζει το εξής τηλεπαιχνίδι. Έχει 3 κουρτίνες όπου πίσω από μία από αυτές, υπάρχει 1 αυτοκίνητο. Ο παίχτης επιλέγει και δεσμεύει μία από τις 3 κουρτίνες. Ο παρουσιαστής του παιχνιδιού (ο οποίος γνωρίζει που βρίσκεται το αυτοκίνητο) υποχρεούται να ανοίξει μία κενή από  τις άλλες 2. (Πάντα θα υπάρχει μία τουλάχιστον κενή στις άλλες 2). Ο παίχτης τότε, έχει τη δυνατότητα να κρατήσει τη δική του ή να αλλάξει.
 Ένας άλλος τηλεοπτικός σταθμός, παρουσιάζει το εξής τηλεπαιχνίδι. Έχει  3 κουρτίνες όπου πίσω από μία από αυτές, υπάρχει 1 αυτοκίνητο. Ο παίχτης επιλέγει και δεσμεύει μία από τις 3 κουρτίνες. Ο παρουσιαστής του παιχνιδιού τότε, ζητάει από κάποιον από το κοινό (ο οποίος δε γνωρίζει πού βρίσκεται το αυτοκίνητο) να κάνει delete μία από τις άλλες 2 στην τύχη. Η κουρτίνα αυτή ανοίγει και αν είχε μέσα το αυτοκίνητο, το παιχνίδι ξαναρχίζει από την αρχή (ξαναδιαλέγει ο παίχτης μία από τις 3) και επαναλαμβάνεται μέχρις ότου η κουρτίνα που γίνεται delete από τον άνθρωπο του κοινού, να μην έχει το αυτοκίνητο. Ο παίχτης τότε, έχει τη δυνατότητα να κρατήσει τη δική του ή να αλλάξει.

Έχετε τη δυνατότητα να συμμετάσχετε σε ένα από τα δύο τηλεπαιχνίδια. Ποιο θα προτιμούσατε?




ΛΥΣΗ

Με συμφέρει να παίξω στο πρώτο τηλεπαιχνίδι και να αλλάξω κουρτίνα.
Λογική ανάλυση:

Και στις 2 περιπτώσεις έχουν μείνει 2 κουρτίνες όπου σε μια από τις δυο υπάρχει 1 αυτοκίνητο, αθροιστικά οι 2 κουρτίνες του κάθε παιχνιδιού έχουν 100% πιθανότητα.
Με συμφέρει να παίξω στο τηλεπαιχνίδι που υπάρχει κουρτίνα με την μεγαλύτερη πιθανότητα.
Η κάθε κουρτίνα έχει μια πιθανότητα ,η οποία είναι άσχετη από το εάν εγώ έχω την δυνατότητα η την επιθυμία να αλλάξω.
Για να δούμε τι πιθανότητα έχει η κάθε κουρτίνα θα κάνουμε μια παραλλαγή στο κάθε παιχνίδι.

Στο πρώτο παιχνίδι ας υποθέσουμε ότι δεν είχα την δυνατότητα να αλλάξω κουρτίνα.
Η πιθανότατα της κουρτίνας μου αρχικά είναι 33%.
Για να δούμε τι έχει η κουρτίνα μου ο παρουσιαστής ανοίγει τις άλλες δυο με όποιον τρόπο θέλει αυτός .
Θεωρήστε το άνοιγμα της μιας κουρτίνας ένα ενδιάμεσο στάδιο στο άνοιγμα των δυο κουρτινών.
Δεν επηρεάζει ο τρόπος που ανοίγει αυτός τις άλλες δυο κουρτίνες την πιθανότατα της κουρτίνας μου.
Το άνοιγμα μιας κενής από τον παρουσιαστή είναι ακριβώς ισοδύναμο με το να βγάλει το χώρισμα πχ που τις χωρίζει και να τις ενοποιήσει,(χωρίς να ανοίξει τίποτα).
Εφόσον όταν δεν έχω την δυνατότητα να αλλάξω κουρτίνα η κουρτίνα μου έχει πιθανότατα 33%, εάν αποκτήσω την δυνατότητα να αλλάξω η κουρτίνα μου θα έχει πάλι 33%. Επομένως η άλλη κουρτίνα έχει 66%.
Με συμφέρει να αλλάξω, θα χάνω μόνο όταν το είχα βρει αρχικά.

Στο δεύτερο παιχνίδι ας υποθέσουμε πως αυτός που ανοίγει την κουρτίνα έπαιζε και αυτός.
Εάν πχ εγώ διάλεγα την πρώτη και αυτός διάλεγε την δεύτερη, άνοιγε την τρίτη.
Ανοίγει λοιπόν αυτός την τρίτη, υπάρχει κανένας λόγος να υποθέσουμε πως η πρώτη έχει περισσότερες πιθανότητες από την δεύτερη, η το αντίθετο?
Το ότι δεν παίζει κάποιος άλλος την δεύτερη δεν ανεβάζει την πιθανότατα της πρώτης .
Εφόσον λοιπόν η πρώτη και η δεύτερη έχουν τις ίδιες πιθανότητες έχουν από 50%.
Εάν ΔΕΝ είχα την δυνατότητα αλλαγής κουρτίνας με συνέφερε να παίξω σε αυτό το τηλεπαιχνίδι.

Δεν υπάρχουν σχόλια: