Δευτέρα, 27 Δεκεμβρίου 2010

Η κάλπικη λίρα πρόβλημα - παιχνίδι λογικής (λύση)

Έχουμε 40 λίρες εκ των οποίων μια (1) είναι κάλπικη (έχει διαφορετικό βάρος) , δεν ξέρουμε και δεν μας ενδιαφέρει να μάθουμε εάν αυτή είναι βαρύτερη η ελαφρύτερη. Θέλουμε με 4 ζυγίσεις σε έναν ζυγό ισορροπίας να βρούμε την κάλπικη.





Αυτό το πρόβλημα μπορείτε να το κάνετε παιχνίδι και να το παίξετε με τους φίλους σας ως εξής:
Κόψτε 40 χαρτάκια και αριθμήστε τα από το 1 έως το 40. Ζητήστε από ένα φίλο σας να γράψει σε ένα άλλο χαρτί έναν αριθμό από το 1 έως το 40, ο οποίος υποτίθεται είναι η προβληματική λίρα και να γράψει πάνω εάν είναι βαρύτερη ή ελαφρύτερη. Εμείς μετά τοποθετούμε μπροστά του δυο δίσκους πάνω στους οποίους έχουμε κάποια χαρτάκια (τις υποτιθέμενες λίρες). Τα χαρτάκια που θα βάλουμε στους δίσκους προκύπτουν από την λύση του προβλήματος. Αυτός βλέποντας τους αριθμούς θα μας λέει ποιό από τα 2 είναι το βαρύτερο. Εμείς θα κάνουμε τις κινήσεις μας επί των δίσκων και θα τον ρωτήσουμε συνολικά 4 φορές. Αφού μας απαντήσει και την τέταρτη φορά, θα του πούμε τον αριθμό που είχε επιλέξει στην αρχή.
Για να γίνει εύκολα κατανοητή η λύση, χωρίζουμε τις λίρες σε πακετάκια.
Πακέτο Α: 1 έως 9 (9 λίρες)
Πακέτο Β: 10 έως 13 (4 λίρες)
Πακέτο Γ: 14 έως 22 (9 λίρες)
Πακέτο Δ: 23 έως 26 (4 λίρες)
Πακέτο Ε: 27 έως 29 (3 λίρες)
Πακέτο Ζ: 30 έως 31 (2 λίρες)
Πακέτο Η: 32 έως 34 (3 λίρες)
Πακέτο Θ: 35 (1 λίρα)
Πακέτο Ι: 36 έως 37 (2 λίρες)
Πακέτο Κ: 38 (1 λίρα)
Πακέτο Λ: 39 (1 λίρα)
Πακέτο Μ: 40 (1 λίρα)

Ζύγιση 1η : Στον αριστερά ζυγό βάζουμε τα πακέτα Α και Β. Στον δεξιά ζυγό βάζουμε τα πακέτα Γ και Δ. Υπάρχουν 2 ενδεχόμενα: ή να ισορροπούν ή να γέρνει προς κάποια κατεύθυνση.
A) Ας υποθέσουμε ότι γέρνει δεξιά (εάν γέρνει αριστερά είναι το ίδιο πράγμα αλλά αντίστροφα).
Ζύγιση 2η : Παίρνουμε το πακέτο Γ και το αφήνουμε στην άκρη. Παίρνουμε το πακέτο Α και το πάμε στη θέση του πακέτου Γ. Αφού η ζυγαριά έγερνε οι υπόλοιπες λίρες είναι καλές, οπότε παίρνουμε 9 τυχαίες από αυτές και τις βάζουμε στον αριστερά ζυγό για να δημιουργήσουμε ισότητα. Υπάρχουν τώρα 3 ενδεχόμενα: ο ζυγός να εξακολουθεί να γέρνει δεξιά, ο ζυγός να άλλαξε φορά και να γέρνει αριστερά ή ο ζυγός να ισορροπεί.
Α1)Εάν ο ζυγός εξακολουθεί και γέρνει δεξιά, η κάλπικη βρίσκεται ή στο πακέτο Β ή στο πακέτο Δ γιατί αυτά τα πακέτα έμειναν στη θέση τους.
3η Ζύγιση: Παίρνουμε 3 λίρες από το πακέτο Δ (τις 23, 24 και 25) και τις βγάζουμε έξω. Παίρνουμε από το πακέτο Β άλλες 3 (τις 10, 11 και 12) και τις πάμε στον δεξιά ζυγό. Τέλος παίρνουμε 3 οποιεσδήποτε «καλές» λίρες και τις βάζουμε στον αριστερά ζυγό για ισορροπία. Υπάρχουν τώρα 3 ενδεχόμενα:
Α1α) Ο ζυγός να εξακολουθεί να γέρνει δεξιά όπου υπεύθυνη είναι μια εκ των 2 που έμεινε στη θέση τους.
Ζύγιση 4η : Ζυγίζουμε μια εκ των 2 με κάποια «καλή». Έτσι βρίσκουμε εάν η 13 ή η 26 είναι η προβληματική.
Α1β)Ο ζυγός ισορροπεί. Οπότε κάλπικη είναι μια από τις 23, 24, 25 που βγάλαμε έξω και εκτός αυτού είναι και βαρύτερη γιατί στη προηγούμενη ζύγιση ο ζυγός έγερνε προς το μέρος τους.
Ζύγιση 4η :Οπότε ζυγίζοντας την 23 με την 24, δεδομένου ότι βαρύτερη είναι η κάλπικη, όποια από τις 2 είναι βαρύτερη είναι η κάλπικη. Εάν ισορροπούν κάλπικη είναι η 25.
Α1γ) Ο ζυγός γέρνει αριστερά. Οπότε η κάλπικη είναι μια εκ των 10, 11, 12 και εκτός αυτού είναι και ελαφρύτερη.
Ζύγιση 4η : Οπότε ζυγίζοντας την 10 με την 11, δεδομένου ότι ελαφρύτερη είναι η κάλπικη, όποια από τις 2 είναι ελαφρύτερη είναι η κάλπικη. Εάν ισορροπούν κάλπικη είναι η 12.

Α2) Εάν ο ζυγός άλλαξε κατεύθυνση η κάλπικη βρίσκεται στο πακέτο Α γιατί αυτό άλλαξε θέση στους ζυγούς. Επίσης η κάλπικη σε αυτή την περίπτωση είναι ελαφρύτερη όπως συμπεραίνουμε από την προηγούμενη ζύγιση.
Ζύγιση 3η : Παίρνουμε την 1, 2 και 3 λίρες και τις βάζουμε στον αριστερά ζυγό και τις 4, 5 και 6 λίρες στον δεξιά ζυγό.
Α2α) Ο ζυγός γέρνει δεξιά. Τότε κάλπικη είναι μια εκ των 1,2, 3 που βρίσκονται στον αριστερά ζυγό.
Ζύγιση 4η :Οπότε μετά ζυγίζοντας τις 1 με 2 μπορούμε να διαπιστώσουμε ποια από τις 1, 2 ή 3 είναι η κάλπικη. Γιατί σε περίπτωση ισορροπίας είναι η 3 ενώ σε περίπτωση μη ισορροπίας είναι η ελαφρύτερη.
Α2β) Ο ζυγός ισορροπεί. Οπότε κάλπικη είναι μια από τις 7, 8 , 9 που βγάλαμε έξω.
Ζύγιση 4η : Οπότε ζυγίζοντας την 7 με την 8, δεδομένου ότι ελαφρύτερη είναι η κάλπικη, όποια από τις δύο είναι ελαφρύτερη είναι η κάλπικη. Εάν ισορροπούν κάλπικη είναι η 9.
Α2γ) Ο ζυγός γέρνει αριστερά. Οπότε η κάλπικη είναι μια εκ των 4, 5, 6 και εκτός αυτού είναι και ελαφρύτερη.
Ζύγιση 4η : Οπότε ζυγίζοντας την 5 με την 6, δεδομένου ότι ελαφρύτερη είναι η κάλπικη, όποια από τις 2 είναι ελαφρύτερη είναι η κάλπικη. Εάν ισορροπούν κάλπικη είναι η 4.
Α3)Εάν ο ζυγός ισορροπεί, η κάλπικη βρίσκεται στο πακέτο Γ γιατί αυτό βγήκε εκτός ζυγαριάς. Επίσης η κάλπικη είναι βαρύτερη από τις άλλες γιατί στη πρώτη ζύγιση ο ζυγός έγερνε δεξιά και το πακέτο Γ ήταν δεξιά. Σε αυτή την περίπτωση κάνουμε ότι κάναμε στο Α2 με τη διαφορά ότι η κάλπικη θα είναι η βαρύτερη. Έτσι ξεδιαλύνουμε και τις περιπτώσεις 14 έως και 22.
Β) Ας υποθέσουμε ότι ισορροπεί. Τώρα η κάλπικη είναι μέσα στις υπόλοιπες 14 από το πακέτο Ε μέχρι το πακέτο Μ.
Ζύγιση 2η : Παίρνουμε τα Ε και Ζ στον αριστερά ζυγό και στον δεξιά τα Η και Θ. Στον δεξιά επίσης βάζουμε για ισορροπία μια από τις προηγούμενες λίρες που είναι σίγουρα «καλή». Υπάρχουν 2 ενδεχόμενα: να ισορροπούν ή να γέρνει προς κάποια κατεύθυνση.
Β1) Ο ζυγός γέρνει δεξιά (εάν γέρνει αριστερά είναι το ίδιο πράγμα αλλά αντίστροφα).
Ζύγιση 3η : Παίρνουμε το πακέτο Η και το βγάζουμε έξω. Παίρνουμε το πακέτο Ε και το βάζουμε στη θέση του πακέτου Η. Στον αριστερό ζυγό συμπληρώνουμε 3 «καλές» λίρες. Υπάρχουν 3 ενδεχόμενα.
Β1α) Ο ζυγός γέρνει δεξιά οπότε η κάλπικη βρίσκεται στα πακέτα Ζ ή Θ που έμειναν στη θέση τους.
Ζύγιση 4η :Σε αυτή την περίπτωση παίρνουμε και ζυγίζουμε τις 30 και 31. Εάν ισορροπούν κάλπικη είναι η 35. Εάν δεν ισορροπούν κάλπικη είναι μια εκ των 30 και 31 και επειδή αυτές στην προηγούμενη ζύγιση ήταν στον αριστερό ζυγό ενώ η ζυγαριά έγερνε προς τα δεξιά σημαίνει ότι η κάλπικη είναι όποια από τις 2 είναι ελαφρύτερη.
Β1β)Ο ζυγός ισορροπεί οπότε η κάλπικη είναι στο πακέτο Η και είναι και βαρύτερη. Σε αυτή την περίπτωση κάνουμε ότι στην περίπτωση Α2β και βρίσκουμε ποιά από τις 32, 33 ή 34 είναι η κάλπικη.
Β1γ)Ο ζυγός να γέρνει αριστερά, οπότε η κάλπικη είναι στο πακέτο Ε και είναι και ελαφρύτερη. Σε αυτή την περίπτωση κάνουμε ότι κάναμε Α2β και βρίσκουμε ποιά από τις 27, 28 ή 29 είναι η κάλπικη.
Β2) Ο ζυγός ισορροπεί, οπότε η κάλπικη λίρα βρίσκεται σε ένα εκ των πακέτων Ι, Κ, Λ και Μ.
Ζύγιση 3η : Στον αριστερό ζυγό βάζουμε το πακέτο Ι και στον δεξιά ζυγό το πακέτο Κ και μια «καλή» λίρα για ισορροπία. Υπάρχουν δυο ενδεχόμενα.
Β2α) Ο ζυγός ισορροπεί, οπότε η κάλπικη είναι ή στο πακέτο Μ ή στο πακέτο Λ.
Ζύγιση 4η :Ζυγίζοντας μια εκ των 39 ή 40 με μια «καλή» βρίσκουμε την κάλπικη.
Β2β) Ο ζυγός γέρνει δεξιά.
Ζύγιση 4η : Ζυγίζουμε την 36 με την 37. Εάν ισορροπούν κάλπικη είναι η 38. Εάν δεν ισορροπούν κάλπικη είναι μια εκ των 36 και 37. Επειδή στη προηγούμενη ζύγιση οι 36 και 37 ήσαν στον αριστερά ζυγό ενώ ο ζυγός έγερνε δεξιά σημαίνει ότι η κάλπικη είναι ελαφρύτερη. Οπότε όποια είναι ελαφρύτερη είναι και η κάλπικη.

Δεν υπάρχουν σχόλια: