Ο Αχιλλέας, ο Πάτροκλος, και η χελώνα (πρόβλημα λογικής)

Στην μια άκρη ενός ευθύ δρόμου είναι ο Αχιλλέας, στην άλλη ο Πάτροκλος και στην μέση μια χελώνα.

Ο Αχιλλέας και ο Πάτροκλος κινούνται με την ίδια ταχύτητα  -όταν κινούνται -  ενώ η χελώνα, με σταθερή μεν ταχύτητα, αλλά κατά πολύ μικρότερη αυτών.

Ο  Αχιλλέας και ο  Πάτροκλος  κινούνται εναλλάξ, ενώ η χελώνα συνεχώς, ως εξής:

Κινείται μόνον  αυτός  που κινείται προς το μέρος του η χελώνα.

Ξεκινά η χελώνα με κατεύθυνση προς τον Αχιλλέα, ταυτόχρονα ξεκινά και ο Αχιλλέας.

Κάποια στιγμή συναντιούνται.

Αυτομάτως σταματά ο Αχιλλέας, κάνει μεταβολή η χελώνα και ξεκινά ο Πάτροκλος.

Κάποια στιγμή συναντά η χελώνα τον Πάτροκλο, κάνει μεταβολή κλπ .

Δεδομένου πως ένας εκ των Αχιλλέα - Πάτροκλου κινείται συνεχώς, κάποια στιγμή θα συναντηθούν και η χελώνα θα βρίσκεται ανάμεσα τους.

Ποιος  διάνυσε μεγαλύτερη απόσταση;  ο Αχιλλέας  ή ο Πάτροκλος;

Λύση:

Για να δούμε ποιος διάνυσε μεγαλύτερη απόσταση, πρέπει να δούμε που θα συναντηθούν.

Αρχικά, σε κάποιο σημείο, συναντά η χελώνα τον Αχιλλέα και κάνει μεταβολή (σταματά ο Αχιλλέας, αρχίζει ο Πάτροκλος). Όσο χρόνο έκανε η χελώνα να φτάσει  στο  1^ο σημείο συνάντησης με τον Αχιλλέα, άλλο τόσο χρόνο θέλει να φτάσει έως το μέσον της διαδρομής. (από εκεί που ξεκίνησε δηλαδή). Επομένως όταν η χελώνα φτάσει στο μέσον της διαδρομής, ο Πάτροκλος θα έχει διανύσει την ίδια απόσταση που διάνυσε ο Αχιλλέας.

Πάτροκλος και χελώνα συνεχίζουν να κινούνται και κάποια στιγμή συναντιούνται.

Ο Πάτροκλος τώρα έχει  διανύσει μια επιπλέον απόσταση από τον Αχιλλέα.

Όσο χρόνο έκανε η χελώνα να πάει από το μέσον της διαδρομής, έως  το 1^ο σημείο συνάντησης  με τον Πάτροκλο, άλλο τόσο θέλει να γυρίσει έως το μέσον της διαδρομής. Στον χρόνο αυτό ο Πάτροκλος διάνυσε την επιπλέον απόσταση από τον Αχιλλέα, άρα τόση απόσταση θα διανύσει και ο Αχιλλέας.

Επομένως όταν η  χελώνα φτάσει στο μέσον, με κατεύθυνση τον Αχιλλέα,  Αχιλλέας και Πάτροκλος θα έχουν διανύσει πάλι την ίδια απόσταση.

Αχιλλέας και χελώνα συνεχίζουν ..2^ο σημείο συνάντησης κλπ.

 Και επειδή πάντα, όσο χρόνο θέλει η χελώνα  για να πάει από το μέσον της διαδρομής έως ένα σημείο, άλλον τόσο θέλει γιά να επιστρέψει στο μέσον , πάντα την επιπλέον απόσταση που διάνυσε ο ένας, θα την διανύει ο άλλος, όταν η χελώνα φτάνει  στο μέσον επιστρέφοντας.

Πάντα όταν η χελώνα βρίσκεται στο μέσον της διαδρομής, Αχιλλέας και Πάτροκλος θα απέχουν το ίδιο από το μέσον.

Όταν η χελώνα δε βρίσκεται στο μέσον, θα κινείται αυτός, που προς το μέρος του πηγαίνει η χελώνα.

Δεδομένου δε ότι την χελώνα, δεν μπορεί κανείς εκ των δυο να την προσπεράσει, κανείς δεν μπορεί να περάσει το μέσον της διαδρομής.

Επομένως θα συναντηθούν ακριβώς εις το μέσον της διαδρομής.

Θα διανύσουν δηλαδή την ίδια απόσταση.